Archiv 4: N.Cusanus - Unendliche Geometrie

In welcher Weise spiegelt die Geometrie die Welt ?

(Ein älterer Text, entstanden während meines Studiums.)

Ausgehend vom hermeneutischen Ebenenmodell („Wie oben, so unten“)will ich versuchen, anhand eines Beispieles, welches von Nicolaus Cusanus gegeben wurde, aufzuzeigen, inwiefern sich die Welt und auch Gott in der Geometrie spiegelt. Am Anfang stellt er folgende Behauptung auf.

„Gäbe es eine unendliche Linie, so wäre sie Gerade, Dreieck, Kreis und Kugel.

Ferner: Gäbe es eine unendliche Kugel, so wäre sie Kreis, Dreieck und Linie. Ebenso müsste die gleiche Aussage vom unendlichen Dreieck und dem unendlichen Kreis gemacht werden.“

Dabei ist diese Behauptung zunächst nur als Hypothese zu verstehen, die er im Folgenden zu begründen versucht.

Da wir über die oben genannten unendlichen geometrischen Objekte direkt nichts auszusagen vermögen, müssen wir versuchen uns dem Gemeinten mit endlichen Figuren anzunähern, um dann davon ausgehend gedanklich erfassen zu können, was ansich unsere Vorstellungskraft sprengt.

Die Vorgehensweise wird jene sein, das ich zunächst festzustellen suche,was sich über die einzelnen endlichen, also begrenzten Objekte aussagen lässt.

Habe ich dies getan, so ist der Bereich meiner Vorstellungskraft erschöpft.

Hier nun folgt als kurzer Einschub ein kurzer, aber ungemein wichtiger Gedankengang über die notwendigen Eigenschaften des Unendlichen.

Wenn wir von Unendlichkeit sprechen, so umschreiben wir damit etwas, was ohne Ende ist, demnach also keine Grenzen hat. Wenn sie keine Grenzen haben kann, so kann nichts außerhalb von ihr gedacht werden, da es sonst an sie grenzen würde, sie begrenzen würde und sie somit im wahrsten Sinne des Wortes auch beenden würde. Wäre also neben der Unendlichkeit etwas, wäre sie nicht unendlich, da sie etwas nicht umfassen würde. Demzufolge lassen sich zwei notwendige Eigenschaften der Unendlichkeit erkennen.

Zum Einen Unbegrenztheit und zum Anderen vollkommene Fülle.

Doch zurück zur Erklärung meiner Vorgehensweise.

Aufgrund der schon erwähnten Beschränktheit der Vorstellungskraft, gibt es nun Dinge,die wir uns nicht als inneres Bild zu imaginieren vermögen und welche im Bereich des Endlichen schier unmöglich sind.

Wenn nun aber das Unendliche auch die vollkommene Fülle ist, so folgt daraus, das was im Endlichen definitiv unmöglich, im Unendlichen unbedingt notwendig sein muss, denn wäre es es nicht, so wäre die vollkommene Fülle unvollkommen , denn es würde ihr etwas fehlen.

Wenn wir nun zwar schon nichts direkt über das Unendliche auszusagen vermögen, so können wir doch nunmehr aus dem, was wir in unserer Endlichkeit als unmöglich erkennen schließen, das dieses dann aber ein unbedingt notwendige Eigenschaft des Unendlichen sein muss.

Anhand dieses Schemas will ich nun versuchen, den Vorgang an den verschiedenen endlichen geometrischen Figuren nachzuvollziehen.

“ Gäbe es eine unendliche Linie, so wäre sie Gerade “

Wenn wir versuchen uns eine Linie vorzustellen, so geschieht dies immer in annähernder Weise durch die Vorstellung einer Strecke. Die unbegrenzte Linie ist für uns nur insofern zu erfassen, als das wir den Kreisumfang eines beliebigen Kreises als eine solche annehmen.

Vergrößern wir nun den Radius des Kreises, so wächst auch der Umfang. Solange wir nun den Radius vergrößern können, gelangen wir zu immer größeren Umfängen und doch niemals zum schlechthin größten, welcher dann ja auch die schlechthin größte, sprich unendliche Linie wäre.

Zweitens lässt sich jedoch auch beobachten, das bei zunehmendem Radius die Krümmung des Umfangs nachlässt. Daraus folgt dann natürlich, das bei unendlich großem Radius sicher auch eine unendlich geringe Umfangskrümmung anzunehmen ist.

Eine unendlich geringe Krümmung ist nun wohl zugleich gerade, womit bewiesen wäre,dass, gäbe es eine unendliche Linie, sie Gerade wäre.

“ Gäbe es eine unendliche Linie, so wäre sie Dreieck“

Nun gilt es aufzuzeigen, inwiefern sich gleiches im Falle des Dreiecks finden lässt.

Man stelle sich eine Linie AB vor. Diese ist in ihrer Dimension auf die Längenausdehnung beschränkt. Würden wir sie quasi in eine zweite Dimension entfalten, so wäre es möglich, die Linie AB um sich selbst zu drehen, wobei man A als Drehpunkt nutzen würde.

Dreht man sie nun um weniger als 180 Grad, so entsteht ein Dreieck mit den beiden Radien als Seiten a & b und einem Kreisbogenausschnitt als Seite c.Wenn wir an dieser Stelle versuchen, das Modell auf das Unendliche zu übertragen, so fällt auf, das der Kreisbogenausschnitt im Unendlichen zur Gerade wird.

Somit lässt sich sagen, das das unendliche Dreieck gewissermaßen die zweite dimensionale Potenz der unendlichen Linie. Gäbe es also eine unendliche Linie, so wäre sie Dreieck.

“ Gäbe es eine unendliche Linie, so wäre sie Kreis“

Analog zum vorherigen Modell verhält es sich hier. Dreht man AB um 360 Grad um A so entsteht ein Kreis, was im übertragenem Sinne die vollkommene zweite Potenz der Linie zeigt. Was wiederum den Schluss zulässt, dass, gäbe es eine unendliche Linie, sie unendlicher Kreis wäre.

“ Gäbe es eine unendliche Linie, so wäre sie Kugel“

Auf endlicher Ebene nehmen wir die Linie und drehen sie 180 Grad um A. Wir erhalten einen Halbkreis mit dem Durchmesser DB. Wenn wir diese Figur nun in die nächste Potenz entfalten, so kann man diese um die Drehachse DB 360 Grad herum drehen und erhält mit der Kugel die Entfaltung der Linie in drei Dimensionen.

Gäbe es also eine unendliche Linie, so wäre sie Kugel.

“ Gäbe es ein unendliches Dreieck, so wäre es Linie“

Wieder gilt es als erstes die Eigenschaften des endlichen Dreiecks, unseres Ausgangspunktes,

festzustellen. Ich denke von Belang wäre vor allem der Umstand, das ein Dreieck drei Seiten und Winkel haben muss.

Ebenfalls bedeutsam erscheint es, das die Seiten in einem Verhältnis zueinander stehen, welches aussagt, das die beiden Kleineren zusammen immer größer sein müssen als die Längere. Bei den Winkeln ist der Innenwinkelsatz zu nennen, welcher aussagt, das die Summe aller Winkel in einem Dreieck nie über 180 Grad sein kann. Als letztes wäre wohl noch wichtig zu beachten, das der Winkel ACB nie 180 Grad erreichen kann, da sonst das Dreieck zur Linie würde und kein endliches Dreieck mehr wäre.

Wie verhält es sich nun, wenn wir versuchen, dies auf das Unendliche zu übertragen ?

Aufgrund des oben erwähnten Seitenverhältnisses ist es notwendig, alle Seiten des Dreiecks als unendlich anzunehmen, sofern auch nur einer dieses Attribut zukommt.

Es kann aber nur ein Unendliches geben, wie schon aufgezeigt wurde, woraus folgt, das das unendliche Dreieck nicht aus drei unendlichen Seiten bestehen kann.

Da aber ein Dreieck immer drei Seiten haben muss, muss die eine Unendliche als drei in einer gedacht werden, um den Widerspruch zu beheben. Gleich verhält es sich mit den Winkeln.

Wenn wir den Winkel ACB vergrößern, stumpft das Dreieck ab.

Geben wir ihm die Größe von 180 Grad, so fallen beide Basiswinkel mit ihm zusammen und ebenso die beiden Schenkel mit der Basisseite.

Diese Figur erfüllt zwar die Voraussetzungen der Einheit von Winkel und Seite,Linie und Dreieck, ist im Endlichen aber natürlich definitiv unmöglich.

Wie zu Beginn aber ausgeführt wurde, ist das, was im Endlichen definitiv unmöglich ist, im Unendlichen unbedingt notwendig.

Daraus lässt sich nun wohl schließen, dass, gäbe es ein unendliches Dreieck, es Linie wäre.

“Gäbe es ein unendliches Dreieck, so wäre es Kreis“

In Beispiel 2 wurde gezeigt warum die unendliche Linie Dreieck wäre. Bleiben wir bei dem geschilderten Modell und stellen uns das unendliche Dreieck als aus den beiden unendlichen Radien und dem unendlichen Kreisbogenausschnitt B bestehend vor. Würde man, wie in Beispiel 3 die Drehung der Linie AB um A vollenden, bekäme man einen Kreis mit dem unendlichen Umfang U. Da es aber keine zwei Unendliche geben kann bzw. diese identisch sind, ist bewiesen, dass, gäbe es ein Dreieck , es Kreis wäre. Denn wenn B mit U identisch ist, so ist das Dreieck im Unendlichen Kreis, da ,wie gezeigt, die Radien im Unendlichen ebenfalls mit B zusammenfallen.

“Gäbe es ein unendliches Dreieck, so wäre es Kugel“

Wenn nun das unendliche Dreieck mit der unendlichen Linie zusammenfällt und es sich ebenso mit Linie und Kugel verhält, so kann man daraus erkennen, dass, wenn man das unendliche Dreieck in seiner vollen Dimensionalität entfaltet, man eine Kugel erhält.

Damit wäre gezeigt, dass, gäbe es ein unendliches Dreieck , es eine Kugel wäre.

“Gäbe es einen unendlichen Kreis, so wäre er Linie“

Wie im vorherigen Verlauf schon gezeigt, ist der unendliche Kreis jener mit der geringsten Krümmung, welche im Unendlichen so zur Gerade wird, womit bewiesen wäre, dass , gäbe es einen unendlichen Kreis, er Linie wäre.

“Gäbe es einen unendlichen Kreis, so wäre er Dreieck“

An Figur 2a wird deutlich, das wir die beiden Radien a & b benötigen um zunächst zusammen mit dem Kreisbogenausschnitt c (siehe 1.) ein Dreieck zu konstruieren.

denn nun aber, wie schon einmal gezeigt, der gesamte Kreisumfang U und der Kreisbogenausschnitt B identisch sind, da beide von unendlicher Natur, so fallen auch die Radien a & b zusammen. Damit wäre gezeigt, dass, gäbe es einen unendlichen Kreis, er Dreieck wäre.

“Gäbe es einen unendlichen Kreis, so wäre er Kugel“

Der unendliche Kreis ist wie gezeigt, die Linie in der 2ten Potenz ihrer räumlichen Entfaltung.

Wenn man sie nun noch um eine Dimension entfaltet und um ihren Durchmesser dreht, erhält man die Kugel als vollständige Entfaltung der Linie in 3ter Potenz.

“Gäbe es eine unendliche Kugel, so wäre sie Linie“

“Gäbe es eine unendlichen Kugel, so wäre sie Dreieck“

“Gäbe es eine unendlichen Kugel, so wäre sie Kreis“

Die letzten drei Transformationen lassen sich leicht durch das Bild erfassen, das von Bsp.13 an abwärts eine Einfaltung der Räumlichkeit vorgenommen wird.

Die Kugel ist der Kreis in der zweiten Dimension, das Dreieck in der Geradlinigkeit und die Linie in der einfachsten Entfaltung. Umgedreht wäre also die Linie sie selbst in erster, das Dreieck in zweiter, der Kreis in vollendeter zweiter sowie die Kugel in vollendeter dritter Potenz.

Damit wird gezeigt, das im Unendlichen alle nur denkbaren Formen zusammenfallen und voneinander nicht mehr trennbar sind.